Was ist eine Umkehrfunktion?
Eine Funktion ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu.
Wenn man dies umdreht und zu den y-Werten die x-Werte berechnen möchte erhält man die Umkehrfunktion.

Wann kann man die Umkehrfunktion berechnen?
Das Berechnen der Umkehrfunktion ist nicht immer möglich, da nicht bei jeder Funktion die Zuordnung von einem y-Wert zu genau einem x-Wert möglich ist, sondern mehrere x-Werte zugeordnet werden können. Ist dies der Fall erhält man eine sogenannte Umkehrrelation.

Was ist die Definitionsmenge einer Funktion?
Die Definitionsmenge einer Funktion sind die Werte, welche für die x-Variable einer Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen. Die wird angegeben um z.B. Divisionen durch 0 zu verhindern. Manchmal hat dies aber auch logische Anwendungsgründe wie z.B. naturwissenschaftliche Funktionen bei denen nur Werte aus einem bestimmten Bereich sinnvoll sind.

Was hat es mit der Definitionsmenge einer Umkehrfunktion auf sich?
Wie jede normale Funktion wird auch für eine Umkehrfunktion (welche auch nichts anderes als eine einfache Funktion ist) eine Definitionsmenge angegeben. Bei Umkehrfunktionen hat dies abgesehen von den bereits im Absatz oben angegebenen Gründen auch zusätzlich noch den Grund das eine Zuordnunung von y-Werten zu genau einem dazugehörigen x-Wert aus der ursprünglichen Funktion oft nur in einem gewissen Bereich der Funktion möglich ist. So ist dies z.B. bei Wurzelfunktionen der Fall.

Gibt es auch grafische Darstellungsmöglichkeiten für Umkehrfunktionen?
Ja, den Funktionengraphen der Umkehrfunktion erhält man indem man die ursprüngliche Funktion graphisch spiegelt. Bei Wurzelfunktin z.B. sieht man gut das sie graphisch eine gespiegelte Version von quadratischen Funktionen sind.

Was sind Beispiele für Umkehrfunktionen?
Bekannte Beispiele für Umkehrfunktionen sind z.B. Wurzelfunktionen, welche die Umkehrfunktionen von Quadratischen Funktionen darstellen.

Ableitung der Umkehrfunktion
Hier zeige ich euch anhand von einem Beispiel wie ihr die Umkehrfunktion ableiten könnt. Doch zuvor zeige ich euch die allgemeine Vorgehensweise dafür. Danach folgt das Beispiel zum besseren Verständnis der Vorgehensweise.

Allgemeine Vorgehensweise:
Liegt eine umkehrbare Funktion der Form y = f(x) vor und ist zugleich x = g(y) die nach x umgeformte Darstellung dieser Funktion dann gilt:
g’(y) = 1 / f’(x)
Der Nenner - f’(x) - darf nicht Null werden (da sonnst eine Division durch 0 entstehen würde). Zuerst muss natürlich überprüfen ob die abzuleitende Funktion überhaupt umkehrbar ist.

Allgemeine Vorgehensweise:

1. Wir schreiben y = f(x)
2. f(x) ableiten
3. als Ergebnis erhalten wir y’ = f’(x)
4. als nächsten muss f(x) nach x umgestellt werden
5. dann muss f’(x) in die Gleichun eingesetzt werden
6. als nächstes ersetzen wir den Ausdruck von f’(x) durch y
7. als letzen Schritt vertauschen wir x und y

Beispiel 1
Folgende Funktion sei gegeben:
y = f(x) = e^x
Gesucht ist nun die Ableitung der Umkehrfunktion. Wir schreiben für den ersten Schritt die Aufgabe ab und leiten die Funktion für den zweiten Schritt ab. Da die Ableitung von ex wieder ex ist sollten hier keine Verständnisprobleme auftreten. Im dritten Schritt lösen wie y = ex nach x auf. Dazu benötigen wir den natürlichen Logarithmus, den wir auf beide Seite anwenden. Wir erhalten dadurch x = ln(y).
Beim vierten Schritt setzen wir in die oben genannte Gleichung für f’(x) nun ex ein, so wie wir dies im zweiten Schritt berechnet haben. Wir erhalten dadurch g’(y) = 1 durch ex. Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass y = ex ist. Somit können wir in Schritt 5 für ex nun einfach y einsetzen. Im letzten Schritt tauschen wir einfach noch y durch x aus und erhalten dadurch die Ableitung der Umkehrfunktion. Das sieht dann also so aus:

1. y = f(x) = e^x
2. y’ = f’(x) = e^x
3. x = ln(y)
4. g’(y) = 1 / f’(x) = e / e^x
5. g’(y) = 1 / y
6. g’(x)=1 / x

Praktische Anwendungsmöglichkeiten von Umkehrfunktionen
Für die Umkehrfunktion gibt es nicht besonders viele praktische Anwendungsbeispiel. Trozdem habe ich ein paar praktische Anwendungsbeispiele gefunden und diese hier unten aufgelistet.

Beispiel 1
Wenn Du beispielsweise eine Funktion hast, welche die Nachfrage in Abhängigkeit vom Preis eines Produkts angibt, dann könnte es für den Hersteller des Produkts interessant sein, die Umkehrfunktion zu haben, welche ihm dann in meinem Beispiel - verrät, wie er den Preis ansetzen muss, um eine bestimmte Nachfrage zu erhalten.

Beispiel 2
Die Umkehrfunktion hilft Exponentialgleichungen oder trigonometrische Gleichungen zu lösen. Das wäre z.B. der Logarithmus für die Exponentialfunktion oder der Arcussinus für Sinus.

Beispiel 3
Ein weiteres Beispiel, wo man Umkehrfunktionen nutzen kann ist die Rotation einer Funktion um die y-Achse.
Bei der Volumsberechnung einer um die x-Achse rotierenden Funktion, kann dies auch auf die y-Achse übertragen werden indem man die entsprechende Umkehrfunktion berechnet und die selbe Formel für die Volumsberechnung verwendet werden.

Beispiel 4
Ein Beispiel das sich wohl jeder vorstellen kann. Man ist auf Urlaub. Das Ziel ist ein anderes Land mit einer anderen Währung. In unserem Beispiel reisen wir in die USA. Wir müssen also eine gewisse Menge unseres Geldes, welches wir natürlich in EURO haben in US-amerikanische Dollar umtauschen. Dafür gibt es eine Funktion für den Wechselkurs, welche angibt wieviel Dollar wir für einen Euro bekommen. Doch wir möchten das Gegenteil wissen. Wieviel Euro bekommen wir für einen Dollar. Oder ein ähnliches Beispiel wäre: Wir sehen eine schöne Uhr während unserer abendlichen Shoppingtour. Nun fragen wir uns. Wieviel kostet diese Uhr. Nun benötigen wir die passende Umkehrfunktion, weil wir Dollar in Euro umrechnen müssen und nicht Euro in Dollar. Im Falle der Währung ist keine Einschränkung der Definitionsmenge der Umkehrfuntion notwendig, da die Zuordnung von Dollar und Euro in beide Richtungen immer eindeutig ist.

Ein kleiner Tipp für faule
Hier gibt es einen Link zu einer Website mit der ihr Umkehrfunktionen online berechnen könnt.
https://de.numberempire.com/inversefunctioncalculator.php