Mengen

Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik.
Der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) definiert den Begriff der Menge wie folgt:

“Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen”.

Zur besseren Veranschaulichung dient ein Beispiel mit einem Federmäppchen. Die Stifte in der Federmappe sind die wohlunterscheidbaren Objekte, welche auch Elemente der Menge genannt werden. Da in unseren Beispiel ein roter, ein grüner sowie ein blauer und gelber Stift sich in dem Federmäppchen befindet, sieht die Menge F wie folgt aus:

F:= { roter Stift, grüner Stift, blauer Stift, gelber Stift }

Es geht hierbei um die Frage, welche Elemente in der Menge enthalten sind und nicht darum, ob ein Element mehrmals enthalten ist oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt.

Befindet sich in unserem Federmäppchen kein Stift, so wird von der leeren Menge gesprochen.

F´:= { } = ∅

Die leere Menge ist also nicht “nichts”, sondern der Inhalt einer Federmappe, das keine der für es als Inhalt (in unserem Beispiele Stifte) vorgesehenen Dinge enthält. Befindet sich in einer Menge mindestens ein Element, so spricht man von einer nichtleeren Menge.

Ein weiteres Beispiel ist die Menge der Namen in einer Schulklasse. Unsere Schulklasse besteht aus Anton, Helmut, Hakan, Laura und Maria. Unsere Menge lässt sich nun wie folgt aufschreiben:

S:= { Maria, Helmut, Hakan, Laura, Anton }

Mario ist zwar auch ein möglicher Name für einen Schüler, aber ein Mario befindet sich nicht in unserer Schulklasse. Somit ist der Name Mario kein Element unserer Menge S.

Dies notiert wie folgt:

Mario ∉ S

Unter Umständen kann es auch von Bedeutung sein die Anzahl der Elemente einer Menge zu bestimmen. Die Anzahl der Elemente einer Menge nennt man Mächtigkeit und wird mit |S| oder #S notiert. Die Menge unsere Schulklasse bestizt die Mächtigkeit #S=5.

Beispiele aus dem Mathematikunterricht :

• die Menge der natürlichen Zahlen ℕ:= { 0,1,2,3,… }
• die Menge der ganzen Zahlen ℤ:={…,-2,-1,0,1,2,…}
• die Menge der rationalen Zahlen Q:={p/q | p∊Zund q∊ℕ mit q≠Y }
• die Menge der reellen Zahlen R:= { “alle Komma-Zahlen” }

Teilmenge

Definition
Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist.

In unserem Federmäppchen-Beispiel wird es deutlich wenn wir uns die Menge A:= {roter Stift, blauer Stift} und die Menge F:={roter Stift, grüner Stift, blauer Stift, gelber Stift} näher betrachten.

Da alle zwei Elemente von A auch in F enthalten sind, ist A eine Teilmenge von F.

Wir notieren: A ⊂ F

Weitere Beispiele können wir aus dem Mathematikunterricht ableiten.

• die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen
• die ganze Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen
• die rationalen Zahlen sind eine Teilmenge der reelen Zahlen

Insgesamt gilt: ℕ⊂ℤ⊂Q⊂ R

Vereinigung von Mengen

Bei der Vereinigung von zwei Mengen werden alle Elemente zur einer Menge zusammengefasst.

Definiton:
Seien X und Y.
X u Y := { z| z∊X oder z∊Y }

Zu beachten: In der Mathematik wird ein oder als und/oder betrachtet.

Als Beispiel nehmen wir zwei Schulklassen. Marie und Helmut bilden die eine Klasse und Hakan, Laura sowie Anton die andere. Daraus ergeben sich die Menge der Namen X:= {Marie, Helmut, Laura} und Y:= {Hakan, Laura, Anton}. Vereint man nun die Namen beider Klassen erhält man

X u Y = {Name| Name ∊ X oder Name ∊ Y}
= {Marie, Helmut, Laura} u {Hakan, Laura, Anton}
= {Marie, Helmut, Hakan, Laura, Anton}

Ein weiteres Beispiel ist die Vereinigung der natürlichen Zahlen mit den ganzen Zahlen.

ℕ u ℤ = {0,1,2,3,…} u {…,-1,0,1,…} = ℤ

Da ℕ eine Teilmenge von ℤ ist, sind alle Elemente von ℕ in ℤ enthalten. Da wie schon angesprochen nicht die Häufigkeit oder Reihenfolge untersucht wird, ist ℕ vereinigt mit ℤ = ℤ.

Schnitt von Mengen

Beim Schnitt von zwei Mengen werden alle gemeinsamen Elemente zur einer Menge zusammengefasst.

Definiton:
Seien X und Y Mengen.
X ∩ Y := { z| z ∊ X und z ∊ Y }

Zur Verdeutlichung ziehen wir nochmal das Federmäppchen-Beispiel ran. Betrachtet man eine FEdermappe mit einen gelben und roten Stift und eine weitere Federmappe mit einem grünen und blauen Stift, so erhält man die Mengen X:={gelber Stift, roter Stift} und Y:= {grüner Stift, blauer Stift}.

Da die zwei Federmappen keine gemeinsamen Elemente besitzen, erhält man die leere Menge.

X ∩ Y = {gelber Stift, roter Stift} ∩ {grüner Stift, blauer Stift} = ∅.

Ein weiteres Beispiel ist die der Schnitt von der Menge der natürlichen Zahlen mit der Menge der ganzen Zahlen.

ℕ ∩ ℤ = {0,1,2,3,…} ∩ {…,-1,0,1,…} =ℕ

Die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen haben alle Zahlen größer gleich 0 als gemeinsame Elemente. Dies ergibt wieder die natürliche Zahlen.

Ein letztes Beispiel zum Schnitt von Mengen ist der Schnitt von einer beliebigen Menge X mit der leeren Menge.

X ∩ ∅ = ∅

Das Ergebnis ist wieder die leere Menge.

Differenz von Mengen

Bei der Differenz von Mengen fasst man die Element die in beiden Mengen vorkommen zusammen.

Definition
Seien X und Y Mengen.
X \ Y := { z| z∊X und z∉Y }

Als Beispiel nehmen wir wieder unsere beiden Schulklassen.

X = {Marie, Helmut, Hakan} und Y = {Laura, Anton, Marie}

Wir untersuchen nun welche Namen in beiden Schulklassen vorkommen.

X \ Y := {Marie, Helmut, Hakan} \ {Laura, Anton, Marie} = {Marie}

Wir stellen fest, dass nur der Name Marie in beiden Schulklassen vorhanden. Somit ist die Differenz der zwei Mengen gleich {Marie}.

Als ein weiteres Beispiel betrachten wir die Differenz der ganzen Zahlen mit den natürlichen Zahlen.

ℤ \ ℕ = {…,-2,-1,0,1,2,..} \ {0,1,2,…}
={…,-2,-1}

Wichtig ist hierbei zu betrachten, dass man beim vertauschen der Mengen ein anderes Ergebnis erhält.

ℕ \ ℤ = {0,1,2,…} \ {…,-2,-1,0,1,2,..} = ∅.

Nun sind wir am Ende des Referats angekommen. Ich hoffe ihr habt alle einen Eindruck zum Thema Mengen bekommen und es hat euch gefallen. Falls ihr Fragen habt könnt ihr sie mir jetzt stellen. Danke fürs Zuhören.