Sinussatz

Die trigonomischen Funktionen werden durch den Sinussatz und den Kosinussatz erweitert. Im Gegensatz zum Sinus lässt sich der Sinussatz auf jedem beliebigen Dreieck anwenden (nicht nur auf einem rechtwinkligen). Durch eine hinzugefügte Höhe die das Dreieck in zwei Dreiecke teilt entstehen an der Höhe zwei rechte Winkel. Somit wird aus einem beliebigen Dreieck zwei rechtwinklige Dreiecke.
Die Definition sin alpha= Gegenkathete/Hypothenuse.
Dreiecke haben immer drei Seiten. Die Seite, die gegenüber von dem rechten Winkel liegt nennt man Hypothenuse. Die gegenüberliegende Seite der Hypothenuse ist die Gegenkathete. Die letzte und übrige Seite ist die Kathete. Die Winkel und die Verhältnisse werden entweder mit dem Sinus, dem Kosinus oder dem Tangens bestimmt. Alle drei sind nur auf dem rechtwinkligen Dreieck anwendbar.

Definition
Der Sinussatz ist ein großer Teil der Trigonometrie. Mithilfe des Sinussatzes wird eine Verbindung zwischen den Seitenlängen und den Winkeln hergestellt.

Ursprung
Ein persischer Astronom und Mathematiker, der zwischen 960 nach Christus und 1036 nach Christus lebte wurde der Sinussatz erstmals bewiesen. Der Mathematiker hieß Abu Nasr Mansur.

Abu Nasr Mansur
Abu Nasr Masur wurde 960 nach Christus in Gilan, dem Iran geboren und starb im Jahre 1036 nach Christus in Ghazni, Afghanistan. Sein genaues Geburts- und Sterbedatum ist nicht bekannt. Er beschäftigte sich in den Bereichen der Astronomie und Mathematik. Seine Familie waren die Banu Iraq. Sie herrschten über Khwarazm. Dies ist eine Region die zum Aral See dazugehört.

Winkelverhältnisse
Sinus: Gegenkathete/ Hypothenuse
Cosinus: Ankathete/ Hypothenuse
Tangens: Gegenkathete/ Ankathete

Den Sinussatz kann man verwenden, wenn man bereits mit dem Satz des Pytagoras vertraut ist. Seitenlängen und Winkel können mithilfe des Sinussatzes berechnet werden. Der Sinussatz sagt aus, dass das Verhältnis der Winkel gleich dem Verhältnis der Seitenlängen ist. Die Seitenlängen werden berechnet. Dafür braucht man zwei gegenüberliegende Winkel und eine Seitenlänge.

Der Sinussatz ist: a/ sin alpha = b/ sin beta = c/ sin gamma

Das solltest du dir merken:

Für den Sinus gilt:

• Gegenkathete durch Hypothenuse
• Tangens mal Cosinus
• Liegt zwischen -1 und +1

Für jeden Winkel alpha ist:

• Sinus alpha eine reelle Zahl
• Sinus alpha kann sowohl rational wie auch irrational sein

Der Cosinus ist:

• Ankathete durch Hypothenuse
• Der Betrag des Cosinus ist immer gleich 1 oder kleiner 1

Für alpha 45 Grad gilt:

• Sinus alpha durch Cosinus alpha = ½

Periodisch oder nicht periodisch?
Die Funktion x sin(x) ist nicht periodisch
Die Funktion sinsin (x) ist periodisch
Die Funktion x + sin (x) ist nicht periodisch
Die Funktion sin(x) cos(x) ist periodisch
Die Funktion sin (xx) ist nicht periodisch
Die Funktion 1+ sin (x) ist periodisch
Die Funktion sin (2x+3) ist periodisch

Beispiel
Die fehlenden Werte eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen:
Zuerst einmal braucht man ein Dreieck. Im ersten Schritt wird das Dreieck beschriftet. Die Ecken werden mit großen Buchstaben beschriftet. A,B und C. Deshalb wird es auch das Dreieck ABC genannt. Gegenüber den Großbuchstaben werden die gegenüberliegenden Seiten beschriftet. Die Seite, die gegenüber von Ecke A liegt wird mit a beschriftet. Die Seite, die gegenüber von Ecke B liegt, wird mit b beschriftet und die Seite, die gegenüber von Ecke C liegt wird mit c beschriftet. Ein Beispielbild findet Ihr hier:
https://www.google.de/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=2ahUKEwjrsZiqg_nbAhXKzqQKHc6RBFQQjRx6BAgBEAU&url=https%3A%2F%2Fwiki.zum.de%2Fwiki%2FVera_8_interaktiv%2FMathematik%2FTest_C&psig=AOvVaw1gKzF7W4RMlNBQ6IDd2EQe&ust=1530366958303310
In diesem Beispiel sind zwei Winkel und eine Seite gegeben. Der Winkel Beta beträgt 56 Grad. Der zweite Winkel Gamma beträgt 94 Grad. Die Seitenlänge b beträgt 5cm. Gesucht ist die Seitenlänge c.

• Beta = 56 Grad
• Gamma = 94 Grad
• b = 5cm
• c = ?
  Jetzt wird die Gleichung aufgeschrieben die verwendet werden soll: Sinussatz
  a/ sin alpha = b/ sin beta = c/ sin gamma
  Da wir den ersten Teil der Gleichung nicht brauchen streichen wir Ihn:
  b/ sin beta = c/ sin gamma
  Damit die gesuchte Seite c alleine steht rechnen wir: *sin y
  Jetzt ist die Gleichung nach c hin umgestellt. Die Gleichung wird nun in den Taschenrechner eingegeben und ausgerechnet. Das Ergebnis ist ungefähr 6,02 cm.
  c = 6,02 cm

Die Werte können in die Gleichung eingesetzt werden.
Wie sieht dies bei stumpfwinkligen Dreiecken aus? Der Winkel beträgt hier mehr als 90 Grad. Auch hier kann der Sinussatz angewendet werden.

Herleitung
In ein dir beliebiges Dreieck wird eine Höhe eingezeichnet. In dem Beispiel sind zwei Winkel und eine Seitenlänge gegeben. Der Winkel alpha beträgt 40 Grad. Der Winkel beta 60 Grad. Die Seite a ist 165m lang. Gesucht ist die Seite b.
Im Dreieck ADC: Sin alpha = h(c) /b b
Es ergibt sich die Formel: b sin alpha = b
Im Dreieck BCD: sin ß = h(c)/a a
Es ergibt sich: asin ß = h(c)
Des weiteren wird jetzt mit h(c) gleichgesetzt. bsin alpha = a sin ß / sin alpha
Es ergibt sich: b=a*sin ß/ sin alpha /sin ß
b/sin ß=a/sin alpha

Wichtig
1) Denk daran dir die Seiten und Winkel zu markieren, die gegeben sind
2) Gesuchte Größe in den Nenner schreiben um die Gleichung gut umstellen zu können
3) Deine Gleichung muss immer zum gesuchten hin umgestellt werden

• Der Sinussatz kann verwendet werden wenn eine Seite und zwei Winkel gegeben sind
• Der Sinussatz kann verwendet werden wenn zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind
• Mit dem Sinussatz können in einem allgemeinen Dreieck Seitenlängen und Winkel berechnet werden
• Außerdem ist es wichtig zu wissen, dass die Summe aller Innenwinkel immer 180 Grad ergibt. Also gilt immer Winkel alpha plus Winkel beta plus Winkel gamma = 180 Grad

Häufige Fehler
1) Sinus darf nicht mit dem Sinussatz vertauscht werden
a. Der Sinussatz kann in jedem beliebigen Dreieck angewendet werden
b. Sinus ist auf das rechtwinklige Dreieck beschränkt
2) Gesuchte Größe wird nicht immer in den Nenner geschrieben dies erschwert das Umstellen