Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

Fach Fach

Klasse 11

Autor Joker2017

Veröffentlicht am 16.11.2017

Schlagwörter

Kurvendiskussion Analysis ganzrationale Funktion

Zusammenfassung

In diesem Referat wird erläutert, wie eine komplette Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion durchzuführen ist. Die Anleitung besteht aus 7 einfachen Schritten und eignet sich zur Abiturvorbereitung.

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Anleitung zur Kurvendiskussion einer beliebigen ganzrationalen Funktion.

1. Definitionsbereich

Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion f ist die Menge der reellen Zahlen.

D_f = R

 

2. Symmetrie

Ob der Graph der Funktion f symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung des Koordinatensystems ist, lässt sich sowohl durch die Betrachtung aller vorhandenen Exponenten als auch rechnerisch ermitteln.

Betrachtung der Exponenten; Achsensymmetrie zur y- Achse

Der Graph der Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn ausschliesslich gerade Exponenten vorkommen. Hierbei ist zu beachten, dass der Exponent 0 der additiven Konstante gerade ist.

Betrachtung der Exponenten; Punktsymmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems

Der Graph der Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems, wenn ausschliesslich ungerade Exponenten vorkommen.

Rechnerischer Nachweis; Achsensymmetrie zur y-Achse

f(x) = f(-x)

Rechnerischer Nachweis; Punktsymmetrie zum Ursprung des Koordinatensystems

f(x) = -f(-x)

 

3. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

3.1 y-Achse

Bedingung: x = 0

3.2 x-Achse (Nullstellen)

Bedingung: f(x) = 0

 

4. Extrempunkte

4.1 notwendige Bedingung f ' (x) = 0

4.2 hinreichende Bedingung f ' (x) = 0 und f '' (x) 0

4.3 Koordinaten

Zur Bestimmung der Koordinaten der Extrempunkte müssen die Ergebnisse aus 4.1 in die Ausgangsfunktion f eingesetzt werden.

 

5. Wendepunkte

4.1 notwendige Bedingung f '' (x) = 0

4.2 hinreichende Bedingung f '' (x) = 0 und f ''' (x) 0

4.3 Koordinaten

Zur Bestimmung der Koordinaten der Extrempunkte müssen die Ergebnisse aus 5.1 in die Ausgangsfunktion f eingesetzt werden.

 

6. Verhalten der Funktion f im Unendlichen

Bei ganzrationalen Funktionen gibt es vier verschiedene Globalverläufe. Über den Verlauf des Graphen der Funktion f entscheidet der höchste Exponent in der Funktion sowie das Vorzeichen.

Es werden die y - Werte betrachtet, gegen die die Funktion strebt, wenn die x - Werte negativ unendlich groß oder positiv unendlich groß werden.

 

7. Zeichnung des Funktionsgraphen

Den Abschluss der Kurvendiskussion bildet die Zeichnung des Funktionsgraphen. Hierzu ist es hilfreich eine Wertetabelle im geeigneten Intervall zu erstellen.

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