Geometrie: Flächeninhalte und Umfang sowie Oberflächen und Volumen

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Klasse 9

Autor Joker2017

Veröffentlicht am 01.05.2018

Schlagwörter

Flächeninhalt Umfang Oberfläche Volumen Kreis Dreieck Viereck Würfel Zylinder

Zusammenfassung

Dieses Referat erklärt, wie Flächeninhalt und Umfang einfacher zwei-dimensionaler Figuren berechnet werden können. Außerdem wird erkläutert, wie Volumen und Oberfläche drei-dimensionaler Körper bestimmt werden können.

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Umfang und Flächenberechnung

Das Rechteck

Das Rechteck ist ein Viereck, welches jeweils zwei gleich lange Langseiten a und Kurzseiten b hat. Des weiteren besitzt das Rechteck vier rechte Winkel, also 90° Winkel, von denen es auch seinen Namen hat. Die Innenwinkelsumme des Vierecks beträgt immer 360°.

Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich durch Addition der Länger der beiden Langseiten und Kurzseiten. Formal ausgedrückt ergibt sich die Formel: U = 2a + 2b.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich durch die Multiplikation der Langseite mit der Kurzseite, Umgangssprachlich auch als „Länge mal Breite“ ausgedrückt. Formal ergibt sich: A = a * b.

Das Quadrat

Das Quadrat ist eine besondere Form des Rechtecks. Es besitzt ebenso wie das Rechteck, vier rechte Winkel. Die Besonderheit beim Quadrat ist die Tatsache, dass alle vier Seiten gleich lang sind.
Für den Umfang ergibt sich somit: U = 4a und für den Flächeninhalt die Formel: A = a * a =a².

Das Dreieck

Ein Dreieck kann rechtwinklig, stumpfwinklig oder spitzwinklig sein. Der Umfang eines Dreicks berechnet sich stets durch die Addition der drei Seitenlängen. Es gilt folgende Formel: U = a + b + c.
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180°.

Für gleichschenklige Dreiecke gilt für den Umfang: U = 2 a + c, wobei a die Schenkel und c die Basis des Dreiecks sind. Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß und die beiden Schenkel gleich lang.
Für gleichseitige Dreiecke gilt für den Umfang: U = 3a. Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel 60° groß.

Bei rechtwinkligen Dreiecken gilt für den Umfang die allgemeine Formel: U = a + b + c. Für die Winkel gilt, dass ein Winkel 90° groß ist und die anderen beiden Winkel zusammen 90° groß sind.
Der Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks lässt sich durch die Multiplikation des Faktors 0,5 mit der Grundseite und der Höhe auf der Grundseite berechnen. Als Formel ausgedrückt ergibt sich:
A = 0,5
g h.

Bei rechtwinkligen Dreiecken gilt zudem der Satz des Pythagoras, welcher folgende Beziehung hat:
a² + b² = c², wobei c die Hypotenuse, also die längste Seite des Dreiecks ist (die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüber liegt).

Durch Umstellen dieser Formel lassen sich die anderen Seitenlängen berechnen.
Der Kreis

Für Berechnungen am Kreis ist es nötig mit der Kreiszahl Pi zu arbeiten. Diese beträgt näherungsweise 3,1415. Die Winkelsumme eines Kreises beträgt immer 360°.
Der Umfang eines Kreises berechnet sich durch die Formel: U = 2
Pi r. Wobei r für den Radius des Kreises steht. Der Radius ist immer genau halb so lang, wie der Durchmesser des Kreises. Daher lässt sich für den Umfang des Kreises auch folgende Formel nennen: U = Pi d.

Der Flächeninhalt eines Kreises lässt sich wie folgt bestimmen: A = Pi * r².

Drei-dimensionale geometrische Figuren

Das Volumen eines Prismas berechnet sich allgemein aus der Grundfläche multipliziert mit der Hohe. Als Formel: V = G * h.

Der Quader

Ein Quader besteht aus sechs rechteckigen Flächen. Ein Quader hat ausschließlich rechte Winkel.
Das Volumen des Quaders berechnet sich mittels: V = a b c.
Die Oberfläche des Quaders lässt sich wie folgt darstellen: O = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab+ac+bc).

Der Würfel

Die Besonderheit des Würfels ist, dass sowohl die Grundflächen als auch die Seitenflächen aus Quadraten bestehen, welche senkrecht aufeinander stehen.
Für das Volumen eines Würfels gilt: V = a² a = a³.
Die Oberfläche des Würfels berechnet sich durch die Addition seiner sechs gleich großen Grund- und Seitenflächen. Die Formel zur Berechnung lautet: O = 6
a².

Der Zylinder

Der Zylinder besteht aus einer Zusammensetzung von einem Rechteck als Mantel und zwei Kreisen als Grundfläche. Daraus folgt, dass sich die Berechnungen am Zylinder als eine Kombination aus den Berechnungen von Kreis und Rechteck zusammen setzen.

Für das Volumen des Zylinders gilt V = G h = Pi h

Für die Oberfläche des Zylinders gilt O = 2 Pi r (r + h)
Bei drei-dimensionalen Körpern ist es im Allgemeinen hilfreich, das „Netz“ der Figur zu skizzieren, um die Formeln für die Oberfläche zu ermitteln.