Die Partielle Integration

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Klasse 10

Autor muckel316

Veröffentlicht am 02.08.2018

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Partielle Integration

Zusammenfassung

Was ist eine mehrfach Ausführung und was muss ich wo ersetzen? Wer ist Isaac Newton oder Gottfried Wilhelm Leibnitz? Und was ist eine Partielle Integration überhaupt? In diesem Referat könnt ihr diese Fragen nachlesen.

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Die Partielle Integration

Was ist eine Partielle Integration?

Wenn man von einer partiellen Integration redet, die im lateinischen auch Integratio per partes genannt wird, ist in der Integralrechnung ein Weg zur Bestimmung verschiedener Integrale und zu anschließenden Bestimmung ihrer Stammfunktionen. Als Analogon kann sie zur Produktregel für die Differentialrechnung aufgefasst werden. Mit dem Gaußschen Integralsatz ist aus dem Vektoranalysis in einigen Speziellen Fällen eine Verallgemeinerung für mehrere Variablen möglich.

Die Geschichte der Partiellen Integration

In der Arbeit von Blaise Pascal “ Traite des Trilingnes Rectangles et de leurs Onglets “ ( hierbei handelt es sich um eine Abhandlung über die Kurvendreiecke und ihre dazugehörigen adjungierten Körper ), wird einem bereits klar, dass es sich hierbei um eine geometrische Form der Regel der partiellen Integration. Die Arbeit von Blaise Pascal erschien im Jahr 1658 als ein Teil im “ Lettre de A. Dettonville a M. Carcavy “. Zu dieser Zet war der Integralbegriff jedoch noch nicht geprägt und aus diesem Grund wurde diese Regel nicht anhand der Integralen, sondern durch eine Summation von den Infinitesimalen beschrieben.

Der Erfinder der Differential- und Integralrechnung war Gottfried Wilhelm Leibnitz, jedoch hat er sie nicht allein erfunden, sondern gemeinsam mit dem Naturforscher und dem Verwaltungsangestellten Isaac Newton.

Wer war Blaise Pascal?

Blaise Pascal, französischer Mathematiker, Physiker, christlicher Philosoph und Literat, wurde am 19 Juni 1623 in Clermont-Ferrand geboren. Er war der Namensgeber vieler Sachen, unter anderem in der Mathematik, der Informatik, Philosophie und Astronomie. Er ist zwei Monate nach seinem 39ten Geburtstag am 19 August 1662 in Paris verstorben.

Wer war Gottfried Wilhelm Leibnitz?

Gottfried Wilhelm Leibnitz, ein deutscher Mathematiker, Philosoph, Diplomat, Historiker und politischer Berater, wurde entweder am 21 Juni 1646 oder am 1 Juli 1646 in Leipzig geboren. Man kann nicht genau sagen, wann er Geburtstag hatte. Sein Name wurde in früheren Zeiten auch Leibnütz geschrieben, jedoch entschied er sich später zu einer anderen Schreibweise, die es Leibnitz. Er war sowohl in der Mathematik als auch im Rechtswesen tätig, hat aber auch viel in der Philosophie gemacht. Leibnitz ist am 14 November 1716 mit 70 Jahren in Hannover gestorben.

Wer war Isaac Newton?

Wie auch schon bei Gottfried Wilhelm Leibnitz, kann man auch bei Isaac Newton nicht genau sagen wann er Geburtstag hat. Da ist man sich uneinig ob es der 25 Dezember 1642 oder der 4 Januar 1643 geboren ist. Was aber feststeht ist, dass er in Woolsthorpe-by-Colsterworth geboren wurde.
Er war Theologe, Naturwissenschaft, Alchemie und Philosophie tätig. Er hat viele Forschungen in der Naturwissenschaft und Philosophie unternommen, und erfand gemeinsam mit Leibnitz die Differential- und Integralrechnung.
Aber nicht nur bei seinem Geburtsdatum ist man sich uneinig, ebenso bei seinem Sterbedatum. Es heißt, dass er entweder am 20 März 1726 oder am 31 März 1727 gestorben ist. Wie auch beim Geburtstag ist auch hier nur definitiv feststehend, wo er gestorben ist. Das war in Kensington, England.

Die unbestimme und partielle Integralrechnung

Wenn man unbestimmte Integrale berechenen will, kann man auch die partielle Integration verwenden. Damit kann man die Stammfunktion berechenen. In der Regel werden dazu die Integralgrenzen der partiellen Integration gestrichen, das heißt, dass man hier die Integrationskonstante beachten.

Mit f und g hat man zwei stetig differenzierbaren Funktionen und wenn dazu noch die Stammfunktion bekannt ist, hat man eine partielle Integration.

Eine Ableitung der partiellen Intergration

Um zur Ableitung eines Produktes zu gelangen, muss man aus den Funktion die Produktregel einsetzen.
Die Produktregel dafür lautet:
f(x)=g(x) x h(x) >
f’(x)=g’(x) x h(x)+g(x) x h’(x)

Die abgeleitete Produktregel ist auch als partielle Intergration zu bezeichnen.
Bei der Partiellen Integration sieht die Gleichung wie folgt aus:

f’ (x)g(x)dx = f(x)g(x)-f(x)g’(x)dx

Dabei müssen die genauen Stammfunktionen berechen, das heißt: f’(x) > f(x) damit wird es integriert.
Und um den Faktor ableiten zu können, sieht es am Ende so aus: g(x) > g’(x)

Am Ende ist das Ziel, die Ableitung mit allen Mitteln zu vereinfachen und damit das Integral leichter berechenen zu können.

Wie sieht die Berechnung aus?

Um eine partielle Integralrechnung ausführen zu können, muss die Funktion aus zwei Faktoren besteht. Das heißt, f’(x) und g(x), hat man diese Faktoren, so werden sie einzelnde Faktoren genannt. Außerdem ist es nur sinnvoll eine partielle Integralrechnung aufzusetzen, wenn eines der Produkte leicht aufzubauen ist und man die Ableitung alles vereinfachen kann. Ebenso ist f’(x) leicht aufzuleiten und das g(x) lässt sich vereinfacht ableiten.

Um ein Beispiel dafür zu nennen, wenn ein Faktor x ist, ist dieser Faktor immer g(x). Dieser Teil wird abschließend abgeleitet und fällt zum Schluss komplett weg. Und wenn Cos, Sin oder ex auftauchen, sind diese in den meisten Fällen f’(x), diese sind leicht zu integrieren.

Die Mehrfach Ausführung

Es kann durchaus auch vorkommen, das dass hinten anliegende Integral nicht auszurechnen ist. Wenn dieser Fall auftritt, musst man die Rechnung einfach nochmals ausführen.

Mit sin x x x² dx ist das Integral integriert. Jedoch sollte man zuerst feststellen, welcher der beiden Faktoren hier abgeleitet (f’(x)) beziehungsweise aufgeleitet werden sollte. Der, der in diesem Fall vereinfacht abgeleitet werden soll, wird durch ( x2 ) ersetzt. Nutzt man die Aufleitung wird sin (x) genutzt.

Fazit

Die Berechnungen in den letzten Zeilen, sollen verdeutlichen wie einfach eine Integralrechnung im Grunde ist. Wenn man diese Rechnung erstmals anwendet, ist sie wirklich kompliziert aber sobald man herausgefunden hat, wie f’(x) oder (x) anwenden muss, ist es nach dem zweiten beziehungsweise dritten mal wirklich einfach. Bevor man sie jedoch in der Schule oder in Klausuren anwendet, sollte man ein paar Probegleichungen anstellen.

Quellenangaben
<p><a rel="nofollow" href="https://www.studimup.de/abitur/analysis/partielle-integration/">https://www.studimup.de/abitur/analysis/partielle-integration/</a></p> <p><a rel="nofollow" href="http://www.wikipedia.de">http://www.wikipedia.de</a></p> <p><a rel="nofollow" href="https://www.pirabel.de/integralrechner/">https://www.pirabel.de/integralrechner/</a></p>