Das Skalarprodukt zweier Vektoren und seine Eigenschaften

Fach Fach

Klasse 11

Autor Joker2017

Veröffentlicht am 20.11.2017

Schlagwörter

Skalarprodukt Vektoren Winkel

Zusammenfassung

Das Referat erklärt das Skalarprodukt zweier Vektoren a_v und b_v und dessen Eigenschaften. Es wird überprüft, ob Kommutativ-, Distributiv- und Assoziativgesetz gelten. Auch Sonderfälle des Skalarprodukts werden erläutert.

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Das Skalarprodukt zweier Vektoren a_v und b_v ist die reelle Zahl:

a_v * b_v = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

Mit Hilfe des Skalarproduktes kann der Kosinus des Winkels a zwischen den Vektoren a_v und b_v bestimmt werden und somit auch der Winkel a. Es gilt:

cos(a) = a_v * b_v / |a_v||b_v| , mit a_v und b_v 0_v

 

Eigenschaften des Skalarprodukts

Die Multiplikation reeller Zahlen ist kommutativ (vertauschbar).

Da a_v * b_v = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 und b_v * a_v = b_1a_1 + b_2a_2 + b_3a_3 gilt

a_v * b_v = b_v * a_v

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist also kommutativ.

Das Distributivgesetzt ist stets für alle Vektoren a_v, b_v und c_v erfüllt. Es gilt:

a_v (b_v + c_v) = a_v * b_v + a_v * c_v 

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl. Aus diesem Grund ist es nicht möglich drei Vektoren auf diese Art zu multiplizieren. Aus dieser Erkenntnis folgt, dass das Assoziativgesetz für das Skalarprodukt nicht gilt.

Es besteht die Möglichkeit ein gemischtes Produkt, der Form

(ra_v) * b_v = (ra_1)b_1 + (ra_2)b_2 + (ra_3)b_3 = r(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) = r(a_vb_v)

zu bilden. Daraus folgt, dass das gemischte Assoziativgesetz  (ra_v) * b_v  = r(a_vb_v) für alle reellen Zahlen r und Vektoren a_v und b_v gilt.

 

Sonderfälle des Skalarprodukts

Welche Bedeutung hat es, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren a_v und b_v null ergibt? Wenn das Produkt zweier reeller Zahlen null ist, bedeutet es, dass mindestens einer der beiden Faktoren null sein muss.

Im Fall a_v * b_v = 0 muss, aufgrund der obigen Definition des Skalarprodukts einer der folgenden Größen |a_v|, |b_v| oder cos(a) null sein. Für |a_v| und |b_v| ist dies beim Nullvektor 0_v der Fall. cos(a) = 0, wenn a = 90°.

Daraus folgt, dass immer wenn a_v * b_v = 0 ist, sind die Vekoren a_v und b_v orthogonal (senkrecht) zu einander.

Diese Eigenschaft kann in vielen Bereichen der analytischen Geometrie und ihren Betrachtungen genutzt werden. Anwendungsbeispiele sind die Lagebeziehungen zweier Geraden und zweier Ebenen zueinander oder die Lagebeziehung einer Geraden zu einer Ebene.