Extremwertaufgaben kommen in der Mathematik häufig als Anwendungsaufgaben der Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen, der sogenannten Kurvendiskussion vor.

Doch was genau ist eine Extremwertaufgabe?

In einer Extremwertaufgabe soll eine Größe entweder kleinstmöglich sein oder größtmöglich sein. Ein Beispiel für eine kleinstmögliche Größe ist der Pappverschnitt bei dem Zuschneiden von bestimmten Formen. Ein Beispiel für eine größtmögliche Größe ist ein Gehege, welches mit Hilfe eines gegebenen Maschendrahtzaunes eingezäunt werden soll. In Bezug auf die Funktionsuntersuchung wird also gefragt, an welcher Stelle die Funktion einen Minimalwert annimmt bzw. an welcher Stelle die Funktion einen Maximalwert annimmt.

Das Besondere an diesem Aufgabentyp ist, dass die Funktion zunächst zwei Unbekannte, also zwei Variablen enthält. Dies macht eine direkte Lösung unmöglich, daher muss eine sogenannte Nebenbedingung für die Funktion und Situation aufgestellt werden. Zwischen den Variablen existiert immer eine Gleichung, welche es ermöglicht, eine Variable durch die jeweils andere auszudrücken. Daher ist es im Anschluss möglich, die Funktion als eine Funktion mit nur einer Variablen darzustellen. Dies entspricht der sogenannten Zielfunktion mit der im Folgenden weiter gerechnet wird.

Das oben genannte Verfahren wird nun anhand eines einfachen Beispiels veranschaulicht.

Fragestellung: Welche Maße hat ein Rechteck, dessen Flächeninhalt maximal bei konstantem Umfang ist?

Seien a und b die Seitenlängen des Rechtecks und U = const, der konstante Umfang des Rechtecks, dann ergibt sich die Gleichung U = 2a + 2b zur Berechnung der Umfangs. Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: A = ab.

Hieraus folgt durch die Umstellung der Gleichung: b = U / (2-a). Dieser Ausdruck für y kann nun in die andere Gleichung eingesetzt werden. Hieraus ergibt sie die Zielfunktion:
A(a) = ab = (U/2)a-a².

Ist die Zielfunktion aufgestellt, so ist nur noch die Frage zu beantworten, wo diese ihre Extremstellen hat. Für das obige Beispiel stellt sich also die Frage, wo die Hochstelle der Zielfunktion liegt.

Nun folgen Arbeitsschritte und Rechenoperationen, welche aus der Funktionsuntersuchung bereits bekannt sind. Die Graph der Zielfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel. Diese hat in a = U/4 eine Hochstelle. Hieraus folgt, dass auch b = U/4 ist.

Hieraus folgt, dass das gesuchte Rechteck ein Quadrat ist.

Der große Vorteil bei der Bearbeitung von Extremwertaufgaben ist, dass die Arbeitsschritte immer nach einem gleichen Muster ablaufen. Diese Vorgehensweise lässt sich sehr gut erlernen.

Die oben genannte Beispielaufgabe, sieht im Einheitsverfahren wie folgt aus:

Fragestellung: Welche Maße hat ein Rechteck, dessen Flächeninhalt maximal bei konstantem Umfang ist?

1.) Aufstellen der Nebenbedingung: Für den Umfang des Rechtecks gilt U = 2a + 2b. Daraus folgt: b = U / (2-a).
2.) Einsetzen in die Zielfunktion: A(a) = ab = (U/2)a-a².
3.) Bestimmung der Extemstelle(n)

A‘(a) = (1/2)U-2a
A‘(a) = 0 => a = U/4

A‘‘(a) = -2 <0 => Maximalstelle

a = b = U/4 => Das gesuchte Rechteck ist ein Quadrat.

Zur Lösung von Extremwertaufgaben werden die beiden Sätze der Differentialrechnung verwendet:

Wenn f(x) eine stetige und differenzierbare Funktion ist und an der Stelle x die Aussage f‘(x)=0 (notwendige Bedingung) sowie f‘(x)=0 und f‘‘(x) <0 (hinreichende Bedingung) gilt, so ist x eine Hochstelle der Funktion. Wenn f(x) eine stetige und differenzierbare Funktion ist und an der Stelle x die Aussage f‘(x)=0 (notwendige Bedingung) sowie f‘‘(x)=0 und f‘‘(x)>0 (hinreichende Bedingung) gilt, so ist x eine Tiefstelle der Funktion.

Bearbeitungshinweise:

Zur Lösung der Extremwertaufgaben reicht es, die Extremstellen durch Nullsetzen der ersten Ableitung der Ausgangsfunktion zu bestimmen. Mit Hilfe der zweiten Ableitung wird anschließend sichergestellt, ob die gefundene Extremstelle auch wirklich ein Extremwert ist. Dies zeigt sich in der Regel bereits aus dem Zusammenhang der Anwendungsaufgabe, muss aber dennoch mathematisch korrekt belegt werden. Im Allgemeinen gilt: die Extremwertaufgaben besitzen nur eine Lösung, da jeweils nur eine Größe minimal klein oder maximal groß werden kann und die lokalen Extremwerte sind daher auch stets die gesuchten.

Um mathematisch korrekt und somit „auf der sicheren Seite“ zu sein, müssen eigentlich alle Extremstellen inklusive der Randstellen genau betrachtet werden.

Die Kriterien der notwendigen Bedingung und der hinreichenden Bedingung

Die oben angewendeten Kriterien der notwendigen Bedingung und hinreichenden Bedingung ist ebenfalls aus der Funktionsuntersuchung bekannt. An dieser Stelle wird noch einmal gesondert darauf eingegangen, da insbesondere bei der hinreichenden Bedingung ein weit verbreiteter Fehler gebräuchlich ist.

Die notwendige Bedingung ist: f‘(x) = 0
Die hinreichende Bedingung ist (für eine Hochstelle): f‘(x)=0 und f‘‘(x) < 0
Die hinreichende Bedigung ist (für eine Tiefstelle): f‘(x)=0 und f‘‘(x)> 0

Oftmals wird die hinreichende Bedingung für eine Hochstelle jedoch als f‘‘(x)<0 angegeben. Dies ist schlichtweg falsch, da immer auch f‘(x)=0 erfüllt sein muss.
Analog gilt dies natürlich auch für die hinreichende Bedingung für eine Tiefstelle.

Extremwertaufgaben sind in der Regel Anwendungsaufgaben, ein Beispiel für eine solche Extremwertaufgabe ist:

Für eine Hühnerschar soll ein rechteckiges Freigehege angelegt werden. Hierfür steht eine Rolle Maschendrahtzaun zur Verfügung. Die Länge des Zauns beträgt 40 Meter. Wie sind die Maße des Rechtecks zu wählen, sodass die Hühnerschar den größtmöglichen Platz im Gehege hat?

Die benötigten Informationen müssen bei Extremwertaufgaben zunächst selbstständig aus dem Aufgabentext heraus gelesen werden. Bei kurzen Aufgabentexten, wie in oben genanntem Beispiel ist das sehr leicht. Es gibt jedoch auch Extremwertaufgaben mit einem deutlich längeren Aufgabentext. Anhang der korrekt aus dem Aufgabentext ermittelten benötigten Informationen, kann überprüft werden, ob die Aufgabe von dem Löser der Aufgabe verstanden worden ist.